{ "version": "https:\/\/jsonfeed.org\/version\/1", "title": "Математика и кофе: заметки с тегом биномиальное", "_rss_description": "Отделы продаж, коллцентры, аналитика, цифры и данные, воронки продаж, матстатистика..", "_rss_language": "ru", "_itunes_email": "", "_itunes_categories_xml": "", "_itunes_image": "", "_itunes_explicit": "", "home_page_url": "https:\/\/mathandcoffee.ru\/tags\/binomialnoe\/", "feed_url": "https:\/\/mathandcoffee.ru\/tags\/binomialnoe\/json\/", "icon": "https:\/\/mathandcoffee.ru\/user\/userpic@2x.jpg?1559386410", "author": { "name": "Иван Балдин", "url": "https:\/\/mathandcoffee.ru\/", "avatar": "https:\/\/mathandcoffee.ru\/user\/userpic@2x.jpg?1559386410" }, "items": [ { "id": "41", "url": "https:\/\/mathandcoffee.ru\/all\/normalnoe-raspredelenie\/", "title": "Нормальное распределение", "content_html": "

Нормальное распределение<\/h2>\n
\n $\"\"$ \n<\/div>\n
\n\n\n\n\n
Количество SD<\/b><\/td>\n -3,000<\/b><\/td>\n -2,576<\/b><\/td>\n -2,000<\/b><\/td>\n -1,960<\/b><\/td>\n -1,645<\/b><\/td>\n -1,282<\/b><\/td>\n 1,282<\/b><\/td>\n 1,645<\/b><\/td>\n 1,960<\/b><\/td>\n 2,000<\/b><\/td>\n 2,576<\/b><\/td>\n 3,000<\/b><\/td>\n<\/tr>\n
Вероятность накопленным итогом<\/b><\/td>\n 0,0013<\/td>\n 0,0050<\/td>\n 0,0228<\/td>\n 0,0250<\/td>\n 0,0500<\/td>\n 0,1000<\/td>\n 0,9000<\/td>\n 0,9500<\/td>\n 0,9750<\/td>\n 0,9772<\/td>\n 0,9950<\/td>\n 0,9987<\/td>\n<\/tr>\n
Вероятность в границах +\/- стольких SD<\/b><\/td>\n -0,9973<\/td>\n -0,9900<\/td>\n -0,9545<\/td>\n -0,9500<\/td>\n -0,9000<\/td>\n -0,8000<\/td>\n 0,8000<\/td>\n 0,9000<\/td>\n 0,9500<\/td>\n 0,9545<\/td>\n 0,9900<\/td>\n 0,9973<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n
График и данные<\/a> в Google Таблицах<\/p>\n", "date_published": "2020-04-05T15:06:07+03:00", "date_modified": "2020-04-05T14:13:50+03:00", "image": "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/normal00.png", "_date_published_rfc2822": "Sun, 05 Apr 2020 15:06:07 +0300", "_rss_guid_is_permalink": "false", "_rss_guid": "41", "_e2_data": { "is_favourite": true, "links_required": [], "og_images": [ "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/normal00.png" ] } }, { "id": "40", "url": "https:\/\/mathandcoffee.ru\/all\/doveritelny-interval-binomialnogo-raspredeleniya-po-metodu-uilso\/", "title": "Доверительный интервал биномиального распределения по методу Уилсона", "content_html": "
В процессе изучения биномиального распределения, обратил внимание, что стандартный способ определения доверительного интервала через ±1,645SD<\/i> не всегда точен. Грубо говоря, если «решка» выпала меньше, чем в 10 бросках, то, скорее всего, либо вы сделали мало бросков, либо у вас вероятность выпадения «решки» в «заколдованной монетке» сильно невелика; если np<\/i> < 10, лучше воспользоваться более сложными формулами, дающими более точные оценки при маленьких p<\/i> или n:<\/i><\/p>\n
По мнению многих статистиков, наиболее оптимальную оценку доверительных интервалов для частот осуществляет метод Уилсона (Wilson),<\/b> предложенный еще в 1927 году <...>. Данный метод не только позволяет оценить доверительные интервалы для очень малых и очень больших частот, но и применим для малого числа наблюдений.<\/i><\/p>\n
Звучит заманчиво. Попробуем разобраться.<\/p>\n
Метод Уилсона<\/h2>\n
Нижняя и верхняя граница доверительного интервала p = 1—α\/2<\/i> вычисляются следующими формулами:<\/p>\n
\n
\n $\"\"$ \n $\"\"$ \n<\/div>\n
Формула расчета нижней и верхней границ, соответственно.<\/div>\n<\/div>\n
где p<\/b><\/i> — наблюдаемая вероятность «выпадения решки», N<\/b><\/i> — число измерений («бросков»), z<\/b><\/i> — z-<\/i>оценка (например, 1,960 для 95%-го доверительного интервала, или 1,645 для 90%-го).<\/p>\n
Пример и калькулятор для расчета<\/h2>\n
Предположим, нам удалось прослушать 10 рандомных звонков колл-центра, и в 4 из них оператор забыл или поленился уточнить у клиента источник рекламы. Скорее всего, исходя из данной информации, операторы не уточняют источники рекламы в 40% звонков.<\/p>\n
Однако, это очень смелое утверждение, ведь наша выборка (10 звонков) откровенно мала: для получения более точной оценки качества работы коллцентра, хорошо бы прослушать больше рандомных звонков (прослушать все звонки, очевидно, невозможно).<\/p>\n
Но даже для выборки из 10 звонков, можно рассчитать SD биномиального распределения:<\/p>\n
\n $\"\"$ \n<\/div>\n
Имеем, SD = 15,49%. С вероятностью 90%, точная оценка качества работы коллцентра (доля звонков, где не выявлен источник рекламы) лежит в диапазоне 40%±1,645SD, или от 14,52% до 65,48%.<\/p>\n
Применяя же формулу Уилсона (что уместно, так как np<\/i> = 4 < 10), границы доверительного интервала уточняются: с вероятностью 90%, истинная доля звонков, где не выявляется источник рекламы, лежит в границах от 19,42% до 64,84%. SD, получается, равно 13,80%.<\/p>\n
Калькулятор<\/b><\/a> в Google Таблицах (меню «Файл» — «Создать копию»).<\/p>\n
См. также:<\/h2>\n«Доверительные интервалы для частот и долей<\/a>», А.М. Гржибовский, 2008 (стр. 58-59)
\n Онлайн-калькулятор<\/a> для 95%-го доверительного интервала
\n Калькулятор<\/a> на WolframAlpha.com
\n Binomial confidence intervals and contingency tests<\/a> (стр.4-5)
\n https:\/\/influentialpoints.com\/Training\/confidence_intervals_of_proportions.htm#wils<\/a>
\n Wilson score interval<\/a> на Википедии<\/p>\n", "date_published": "2020-04-01T16:54:50+03:00", "date_modified": "2020-04-01T16:55:04+03:00", "image": "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/wilson01.PNG", "_date_published_rfc2822": "Wed, 01 Apr 2020 16:54:50 +0300", "_rss_guid_is_permalink": "false", "_rss_guid": "40", "_e2_data": { "is_favourite": false, "links_required": [ "system\/library\/jquery\/jquery.js", "system\/library\/fotorama\/fotorama.css", "system\/library\/fotorama\/fotorama.js" ], "og_images": [ "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/wilson01.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/wilson02.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/CodeCogsEqn.png" ] } }, { "id": "31", "url": "https:\/\/mathandcoffee.ru\/all\/4-smski-za-4-smski-protiv\/", "title": "4 смски «за», 4 смски «против»", "content_html": "
Недавно слушал «Вести ФМ», где обсуждались итоги единого дня голосования 8 сентября<\/a>.<\/p>\n
\n $\"\"$ \n<\/div>\n
Меня заинтересовала следующая реплика ведущего, с 01:45:05<\/a>:<\/p>\n
\n
Кстати, вот, слушатели из того же Хабаровского края пишут и, примерно, по количеству смсок делятся «50 на 50». 50% считают, что они позитивный выбор совершили, а 50% считают, что стало хуже, и это был негативный выбор. Это, понятно, не социологическое исследование. Ну, вот, просто я вижу десяток, восемь, где-то, смсок, и они примерно пополам делятся. Тоже любопытно.<\/i><\/p>\n<\/blockquote>\n
К чести ведущего, абсолютно корректное замечание-«дисклеймер», что это не «социологическое исследование». И все же, что можно сказать о том, как, в реальности,<\/i> делятся голоса, если у вас в наличии только 4 смски «за» и 4 смски «против»? Насколько соотношение «50 на 50», полученное на выборке в 8 смсок, подтверждает ровно то же самое распределение голосов в генеральной совокупности?<\/i><\/p>\n
Считаем в Гугл Таблицах<\/h2>\n
Быстро воспроизводим эксперимент в Гугл Таблицах:<\/p>\n
\n $\"\"$ \n<\/div>\n
Итак, в тот день 4 человека прислали смски «за», 4 человека прислали смски «против». Логично предположить, что день на день не приходится, и сегодня это были одни слушатели, завтра смски будут присылать другие слушатели, и соотношение сил может быть «3 к 5», «5 к 3», «2 к 6» или «7 к 1» — любое сочетание теоретически возможно. Однако, если мы предполагаем, что взгляды аудитории делятся поровну, то чуть более вероятны сценарии «4 к 4», «3 к 5» или «5 к 3», а сценарии «8 к 0» или «1 к 7», например, менее вероятны.<\/p>\n
Технически, мы имеем дело с биномиальным распределением<\/i> — из 8 смсок мы ожидаем<\/i> получить 4 смски «за», но не знаем наверняка, сколько их будет. Вероятность получить смску «за» равна 50% (допустим, что ровно 50% аудитории — «за»), в этом случае стандартная ошибка (SD,<\/i><\/b> или σ)<\/i><\/b> биномиального распределения рассчитывалась бы по формуле:<\/p>\n
\n $\"\"$ \n<\/div>\n
где p<\/i><\/b> = 50%, а n<\/i><\/b> = 8.<\/p>\n
Считаем:<\/p>\n
\n $\"\"$ \n<\/div>\n
Получается, если вероятность получить смску «за» равняется 50%, то стандартное отклонение при выборке в 8 смсок равняется 17,68%!<\/b><\/p>\n
Что же это означает на практике?<\/p>\n
Это означает, что, поскольку имеющаяся выборка (8 смсок) крайне мала, доля случайности в нашем результате «4 „за“, 4 „против“», наоборот, крайне велика, и мы не можем уверенно говорить о строгом распределении голосов «50 на 50» среди всей аудитории «Вести ФМ». Единственное, что мы можем утверждать более-менее точно, это то, что истинная доля голосов «за» лежит в некотором интервале<\/i><\/b> вокруг 50%. И величина этого интервала будет тем шире, чем больше мы захотим быть уверены в его надежности.<\/p>\n
Предположим, мы хотим быть уверены в нашем доверительном интервале на 90%. (Оставляем себе право на ошибку в 10% случаев, другими словами). Согласно законам нормального распределения<\/i> (а биномиальное распределение — это частный случай нормального), данный интервал определяется как 50%±1,645SD.<\/b><\/p>\n
Такое несложно рассчитать в Гугл Таблицах:<\/p>\n
\n $\"\"$ \n<\/div>\n
Получается, что истинная доля голосов «за» лежит в интервале 50%±29,08%, т. е. от 20,92% до 79,08%.<\/b> Примерно вот так это выглядит:<\/p>\n
\n $\"\"$ \n<\/div>\n
Значит, мы и близко не можем говорить о том, что «слушатели ... примерно ... делятся 50 на 50»! В лучшем случае (даже оставляя 10% на то, что мы ошибемся), мы можем говорить лишь об интервале от 21% до 79%.<\/b><\/p>\n
Уточнение расчетов<\/h2>\n
Однако, интервал p<\/i>±1,645SD<\/i><\/b> тоже является достаточно грубой оценкой. Существуют более сложные, и немного более точные, способы оценить границы интервалов.<\/p>\n
Воспользовавшись калькулятором Wolfram Alpha<\/a>, можно получить следующие границы интервала:<\/p>\n
\n\n\n\n\n\n\n\n
Clopper-Pearson confidence interval for a binomial parameter<\/td>\n 0,1929<\/td>\n 0,8071<\/td>\n<\/tr>\n
Wilson score confidence interval for a binomial parameter with continuity correction<\/td>\n 0,2034<\/td>\n 0,7966<\/td>\n<\/tr>\n
standard confidence interval for a binomial parameter<\/td>\n 0,2092<\/td>\n 0,7908<\/td>\n<\/tr>\n
Jeffreys confidence interval for a binomial parameter<\/td>\n 0,2393<\/td>\n 0,7607<\/td>\n<\/tr>\n
Wilson score confidence interval for a binomial parameter<\/td>\n 0,2486<\/td>\n 0,7514<\/td>\n<\/tr>\n
Agresti-Coull confidence interval for a binomial parameter<\/td>\n 0,2486<\/td>\n 0,7514<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n
Ну а если хотим, хотя бы, 45-55% получить?<\/h2>\n
Вот еще интересно: на какого размера выборке, если голоса в ней по-прежнему делятся строго «50 на 50», мы сможем говорить о доверительном интервале, суженном хотя бы до 45-55%?<\/p>\n
Рассчитать такое несложно. Если речь идет об интервале 50%±5%, (и мы продолжаем придерживаться уровня уверенности в результате, равном нашим любимым 90%), то 5% должны составлять 1,645 стандартных отклонений (SD). Отсюда, SD = 3,04%. По формуле стандартного отклонения:<\/p>\n
\n $\"\"$ \n<\/div>\n
откуда несложно найти n = 270,6. Получается, нужно 270-272 смски с распределением голосов строго пополам, чтобы говорить об интервале от 45% до 55% с уровнем уверенности 90%.<\/p>\n
См. также<\/h2>\n
https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Binomial_proportion_confidence_interval<\/a>
\n Калькулятор на WolframAlpha.com<\/a>
\n https:\/\/cyberleninka.ru\/article\/n\/doveritelnye-intervaly-dlya-chastot-i-doley.pdf<\/a>
\n Cтатистическая достоверность для застройщиков<\/a><\/p>\n", "date_published": "2019-09-16T20:03:11+03:00", "date_modified": "2019-09-16T20:37:32+03:00", "image": "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/4smski05.JPG", "_date_published_rfc2822": "Mon, 16 Sep 2019 20:03:11 +0300", "_rss_guid_is_permalink": "false", "_rss_guid": "31", "_e2_data": { "is_favourite": false, "links_required": [], "og_images": [ "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/4smski05.JPG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/4smski00.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/CodeCogsEqn.png", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/4smski01.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/4smski03.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/4smski02.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/4smski04.png" ] } }, { "id": "30", "url": "https:\/\/mathandcoffee.ru\/all\/ischem-anomalii\/", "title": "Ищем «аномалии», включаем красные и зеленые «лампочки»", "content_html": "
Переписываясь на днях с коллегой в Телеграме, в очередной раз увидел примерно вот такой отчет (сейчас просто нарисовал похожий) — сверху недели, сбоку, допустим, территориальные офисы продаж (там были месяцы и продажи по типам продукта, но для целей этой заметки это совершенно не имеет значения):<\/p>\n
\n $\"\"$ \n<\/div>\n
Воспользовавшись «Условным форматированием» в Экселе, замечаем, что на 6-й неделе в офисе «Академический» было 503 продажи. В общем, до этого момента ничего необычного, и так выжали 90% из данных, можно работать с отчетом и анализировать, что душе угодно.<\/p>\n
Однако, есть несложная доработка, позволяющая выжать из данных еще лишние 5%.<\/p>\n
Что, собственно, ищем<\/h2>\n
На картинке особо не видно, но чем ниже по списку, тем меньше в среднем продаж в каждом следующем офисе. То есть, будем считать, что офисы продаж все очень разные, и некорректно сравнивать «Академический» с «Якиманкой» — нехитрым вычислением получается, что «Академический» в среднем делал 242 продажи в неделю, а «Якиманка» — всего 13. Предположим, что тому есть объективные причины, и никто и не требовал от всех офисов показывать одинаковые результаты.<\/p>\n
И тогда можно задать себе вопрос: достаточно ли просто анализировать абсолютные показатели по нашим офисам? И не будет ли правильнее копнуть вглубь, и попробовать найти такие показатели, которые выбиваются из общей картины?<\/b> Такие недели, которые были аномальными<\/i><\/b> для данного офиса продаж.<\/p>\n
Здесь и далее под «аномалией»<\/i> я буду понимать такое значение продаж, которое слишком отличается от среднего по данном офису.<\/b> Как в большую (и надо разобраться, как повторить этот результат) или в меньшую (проанализировать, как избежать неудачи в будущем) сторону.<\/p>\n
Распределяем результаты офиса «Академический»<\/h2>\n
Изучив результаты продаж офиса «Академический» за прошедшие 43 недели, мы рассчитали, что в среднем они делают 241,5 продаж в неделю, при этом стандартное отклонение (SD) равно 86,3.<\/p>\n
Напомню формулы:<\/p>\n
=СРЗНАЧ(B2:AR2)<\/code><\/pre>=СТАНДОТКЛОН.В(B2:AR2)<\/code><\/pre>Можно, гипотетически, представить, что мы имеем возможность наблюдать за результатами офиса «Академический» 200 (sic!) лет, при условии, что все это время среднее и стандартное отклонение не меняются, т. е., грубо говоря, они работают, как работали. В этом случае, мы увидели бы распределение результатов продаж, близкое к нормальному:<\/i><\/p>\n \n\n<\/div>\nДавайте даже еще раз перерисуем картинку. 2 290 недель из 10 000 они бы делали от 200 до 249 продаж в неделю:<\/p>\n \n\n<\/div>\nПонимаете, к чему я клоню?<\/p>\n Если только допустить, что результаты продаж подчиняются законам нормального распределения<\/i> (грубо говоря, равновероятно продать как чуть больше, так и чуть меньше среднего), существует некоторое разумное отклонение от среднего, в пределах которого было бы глупо всерьез говорить о «спаде продаж» или «невероятном успехе». Иными словами, бессмысленно считать «аномалией» то, что лежит в пределах разумного отклонения от среднего.<\/p>\n Остается сформулировать критерии «разумности» и научить отчет сигнализировать об «аномалиях».<\/p>\n Вспоминаем теорию<\/h2>\nЕсли вкратце, то, допустив на минутку, что мы имеем дело с нормальным распределением,<\/i> вычислив среднее значение<\/i> и стандартное отклонение (SD),<\/i> мы можем уверенно говорить о том, что 90% данных в отчете не будут выходить за границы ±1,645SD от среднего.<\/b><\/p>\n Применительно к офису «Академический» речь идет о том, что для 90% времени результаты их продаж будут лежать в диапазоне от 100 до 383, или 241,5±142,0. Поэтому до тех пор, пока цифры не вышли за пределы этих границ, мы не наблюдаем ничего необычного.<\/p>\n Сразу оговоримся: конечно, степень «необычности», или «аномалии», каждый определяет для себя сам. Для одних, подозрение могут вызывать показатели, выбивающиеся за рамки 80%-ной вероятности (±1,28SD), для других — терпимым будет отклонение в ±1,96SD, что соответствует 95%-й вероятности. Тогда, первые будут бить искать причины «аномалии» в 20% случаев, вторые — в 5%. Каждую пятую неделю но отчете у коммерческого директора первые будут объяснять, что произошло, и почему, тогда как вторые будут делать это раз в 4-5 месяцев.<\/p>\n Допущение о том, что продажи в территориальных офисах, число посетителей на сайте, количество рекламных звонков, клики по баннеру распределяются по закону нормального распределения, дало нам потрясающую возможность оценивать вероятность наступления «аномалии» — слишком сильного отклонения от среднего значения. Обратно, оно учит нас не бить тревогу там, где отклонение, хотя и есть, не является достаточно сильным, и делает, отчасти, бессмысленным анализ и разбор ситуаций, когда показатель отклоняется в пределах разумного.<\/p>\n Перекрашиваем отчет, включаем зеленые и красные «лампочки»<\/h2>\nТеперь мы хотим переделать отчет о продажах в территориальных офисах таким образом, чтобы напротив подозрительно больших или подозрительно маленьких значений загорались бы зеленые и красные «лампочки».<\/p>\n Нам необходимо научить отчет «включать» наши «лампочки», если значение в ячейке становится больше или меньше границ 90%-го диапазона, т. е. в примерно 90% случаев ни одна из «лампочек» «загораться» не будет, в примерно 5% случаев будет «загораться» красная «лампочка», и еще в примерно 5% — зеленая.<\/p>\n Применительно к «Академическому», мы хотим выделять красным значения, меньшие чем 241,5-1,64586,3, т. е., меньшие, чем 100, и мы ходим выделять зеленым значения, большие, чем 241,5+1,64586,3, т. е., большие, чем 383.<\/p>\n Нам остается рассчитать границы включения «лампочек» по каждому из офисов продаж, рассчитав последовательно: среднее значение продаж, стандартное отклонение (SD), нижнюю границу 90%-го диапазона, верхнюю границу 90%-го диапазона.<\/p>\n \n\n<\/div>\nИспользуемые формулы:<\/p>\n =СРЗНАЧ(B2:AR2)<\/code><\/pre>=СТАНДОТКЛОН.В(B2:AR2)<\/code><\/pre>=B2-1,645C2<\/code><\/pre>=B2+1,645C2<\/code><\/pre>У нас получилась следующая таблица, содержащая расчеты по нижним и верхним границам того, что мы далее будем считать «аномалией»:<\/p>\n \n\n<\/div>\nТеперь, используя инструмент «Условное форматирование» — «Правило выделения ячеек» — «Меньше...»\/«Больше...», последовательно для каждого из 17-ти офисов продаж настраиваем правила подсветки ячеек красным и зеленым, в зависимости от того, будет ли значение ниже нижней границы 90%-го диапазона, или выше верхней границы:<\/p>\n \n\n\n\n<\/div>\n<\/div>\nДополнительно выставляем светло-серый цвет текста, чтобы подсвеченные «аномалии» были еще более заметны. Добавляем градиент от белого к светло-серому, чтобы сохранить первоначальную идею выделять большие значения более темной заливкой. Законченная таблица приобретает следующий вид:<\/p>\n \n\n<\/div>\nВыводы<\/h2>\nИспользуя идею о разбросе значений вокруг среднего в нормальном распределении, нам удалось доработать наш отчет о территориальных офисах таким образом, что мы не просто видим результаты, но и теперь отдельно включаем красные и зеленые «лампочки» для тех результатов, которые представляют интерес, как «аномалии» — маловероятно маленькие или маловероятно большие значения, определив уровень «аномалии» как все, что выходит за пределы 90% вероятности.<\/p>\n", "date_published": "2019-09-12T15:27:33+03:00", "date_modified": "2019-09-12T17:41:05+03:00", "image": "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/anomalii00.PNG", "_date_published_rfc2822": "Thu, 12 Sep 2019 15:27:33 +0300", "_rss_guid_is_permalink": "false", "_rss_guid": "30", "_e2_data": { "is_favourite": false, "links_required": [ "system\/library\/highlight\/highlight.js", "system\/library\/highlight\/highlight.css", "system\/library\/highlight\/highlight.js", "system\/library\/highlight\/highlight.css", "system\/library\/highlight\/highlight.js", "system\/library\/highlight\/highlight.css", "system\/library\/highlight\/highlight.js", "system\/library\/highlight\/highlight.css", "system\/library\/highlight\/highlight.js", "system\/library\/highlight\/highlight.css", "system\/library\/highlight\/highlight.js", "system\/library\/highlight\/highlight.css", "system\/library\/highlight\/highlight.js", "system\/library\/highlight\/highlight.css", "system\/library\/highlight\/highlight.js", "system\/library\/highlight\/highlight.css", "system\/library\/highlight\/highlight.js", "system\/library\/highlight\/highlight.css", "system\/library\/highlight\/highlight.js", "system\/library\/highlight\/highlight.css", "system\/library\/highlight\/highlight.js", "system\/library\/highlight\/highlight.css", "system\/library\/highlight\/highlight.js", "system\/library\/highlight\/highlight.css", "system\/library\/jquery\/jquery.js", "system\/library\/fotorama\/fotorama.css", "system\/library\/fotorama\/fotorama.js" ], "og_images": [ "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/anomalii00.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/anomalii01.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/anomalii02.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/anomalii03.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/anomalii04.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/anomalii05.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/anomalii06.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/anomalii07.PNG" ] } }, { "id": "21", "url": "https:\/\/mathandcoffee.ru\/all\/v-kazhdom-pyatom-zvonke-problemy-proveryaem\/", "title": "«В каждом пятом» звонке проблемы, проверяем", "content_html": " На днях пришел в голову такой пример: предположим, подрядчик жалуется на плохую связь «в каждом пятом» звонке.<\/b><\/p>\n Наша задача проверить, справедлива ли гипотеза, что 20% звонков имеют проблемы со связью.<\/b> Причем, как всегда, мы не просто сделаем 100 тестовых звонков (на это у нас нет ресурсов), а сформулируем нулевую гипотезу, альтернативную гипотезу, и проверим ее с заданным уровнем достоверности.<\/p>\n Выдвигаем гипотезу и определяем уровень достоверности<\/h2>\nНулевой гипотезой (H_{0<\/sub>)<\/i><\/b> пусть будет предположение, что со связью все в порядке, или, по крайней мере, проблемы встречаются реже, чем в 20% звонков.<\/p>\n} Альтернативной гипотезой (H_{1<\/sub>),<\/i><\/b> которую мы будем проверять, пусть будет предположение подрядчика, что в каждом пятом звонке наблюдаются помехи. То есть, по крайней мере, в 20% звонков есть проблемы со связью.<\/p>\n} Уровень достоверности<\/b> — это наша уверенность в результатах эксперимента. Чем он выше, тем больше придется сделать проверочных звонков, поэтому мы заложим 1% на возможную ошибку, и выберем уровень достоверности в 99% (1%, что, если даже эксперимент не подтвердит проблем со связью, они, в действительности, могут быть).<\/p>\n Cобираем формулу для расчета выборки<\/h2>\nПредположим, цель эксперимента — опровергнуть<\/i> альтернативную гипотезу H_{1<\/sub> («есть проблемы»), подтвердив нулевую гипотезу H_{0<\/sub> («все в порядке»). Чтобы сделать это, нам будет достаточно продемонстрировать N подряд успешных звонков без признаков проблем со связью, при этом допуская вероятность, равную или меньше 1%, что нам просто повезет, и, при наличии, в действительности, проблем с оборудованием, они случайно не проявят себя ни в одном из N звонков.<\/p>\n}} Из предположения подрядчика вытекает, что 80% звонков не имеют проблем. Вероятность отсутствия сбоев в N звонках подряд равна 0,80^{N<\/sup>. Нам нужно подобрать минимальное N, при котором вероятность упадет до 1%: 0,80^{N<\/sup> = 1%<\/p>\n}} Получается, нам нужно вычислить логарифм 1% по основанию 80%!<\/p>\n \n\n<\/div>\nЗагружаем в Гугл Таблицы:<\/p>\n \n\n<\/div>\nФормула для ячейки C5 будет выглядеть как<\/p>\n =LOG(1-C2;1-C3)<\/code><\/pre>\n\n<\/div>\nНужно сделать 20,64 звонка. (Проверяем: 0,80^{20,64<\/sup> = 0,9995%, идеально.)<\/p>\n} Остается только добавить округление:<\/p>\n =ОКРУГЛВВЕРХ(C5)<\/code><\/pre>или сразу<\/p>\n =ОКРУГЛВВЕРХ(LOG(1-C2;1-C3))<\/code><\/pre>\n\n<\/div>\nПроверяем гипотезу<\/h2>\nЕсли альтернативная гипотеза H_{1<\/sub><\/i> нашего подрядчика верна, и мы испытываем проблемы со связью в каждом пятом звонке, то, вероятность не заметить проблем в 21 тестовом звонке подряд составляет порядка 1%. Иными словами, либо это крайне редкое совпадение (1%), либо альтернативная гипотеза о проблемах в 20% звонков неверна (99%), и мы оставляем нулевую гипозеу H_{0<\/sub><\/i>. С вероятностью 99% мы уверены, что проблем со связью не наблюдается.<\/b><\/p>\n", "date_published": "2019-06-09T16:45:58+03:00", "date_modified": "2019-06-22T14:49:54+03:00", "image": "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/every5th01.PNG", "_date_published_rfc2822": "Sun, 09 Jun 2019 16:45:58 +0300", "_rss_guid_is_permalink": "false", "_rss_guid": "21", "_e2_data": { "is_favourite": false, "links_required": [ "system\/library\/highlight\/highlight.js", "system\/library\/highlight\/highlight.css", "system\/library\/highlight\/highlight.js", "system\/library\/highlight\/highlight.css", "system\/library\/highlight\/highlight.js", "system\/library\/highlight\/highlight.css", "system\/library\/highlight\/highlight.js", "system\/library\/highlight\/highlight.css", "system\/library\/highlight\/highlight.js", "system\/library\/highlight\/highlight.css", "system\/library\/highlight\/highlight.js", "system\/library\/highlight\/highlight.css" ], "og_images": [ "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/every5th01.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/every5th00.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/every5th02.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/every5th03.PNG" ] } }, { "id": "19", "url": "https:\/\/mathandcoffee.ru\/all\/oshibka-konversii\/", "title": "Когнитивная ошибка конверсии", "content_html": "}} Любопытная особенность работы с понятием конверсия<\/i> заключается в том, что, строго говоря, конверсия практически никогда не бывает определена точно.<\/b><\/p>\n Вот эти вот «конверсия звонка в продажу 18,4%», «CTR 3,1%», «конверсия в сделки 30%» — это всегда немного упрощенный подход, будто конверсия надежно измерена и, если и изменится, то мы это объясним объективными факторами, не допуская мысли, что изначально никаких «18,4%» и не было, а были только 38 договоров, которые мы сделали на 206 звонках, и это вовсе не значит, что их не могло бы быть больше или меньше.<\/p>\n Примерно, как местоположение электрона вокруг ядра атома не задается точными координатами, а лишь описывается некоторой областью, в которой он, наиболее вероятно, находится, наша конверсия — это тоже не конкретное число, а, в действительности, интервал, в котором она находится.<\/b><\/p>\n Расчет конверсии и когнитивное искажение<\/h2>\nРассмотрим вымышленный отдел продаж, в котором с этого года начали продавать новый продукт. Допустим, ммм, лимузины.<\/b> Продукт не пользуется большим спросом, поэтому, пока что, данных для анализа не так много, или, лучше сказать, совсем мало:<\/p>\n \n\n\n\n\n\n\n\n\nмесяц<\/b><\/td>\n Заявки<\/b><\/td>\n Продажи<\/b><\/td>\n<\/tr>\n август<\/td>\n 48<\/td>\n 1<\/td>\n<\/tr>\n сентябрь<\/td>\n 35<\/td>\n 1<\/td>\n<\/tr>\n октябрь<\/td>\n 24<\/td>\n 0<\/td>\n<\/tr>\n ноябрь<\/td>\n 61<\/td>\n 2<\/td>\n<\/tr>\n декабрь<\/td>\n 32<\/td>\n 0<\/td>\n<\/tr>\n ИТОГО:<\/b><\/td>\n 200<\/b><\/td>\n 4<\/b><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\nКак видно из данных наших продаж, по итогам нескольких месяцев, мы имеем 4 сделки на 200 лидов (заявок), т. е. наша конверсия равна 4 \/ 200 = 2,0%<\/p>\n (Дополнительно, исходя из цифр пяти месяцев работы, мы можем примерно спрогнозировать 480 лидов на следующий год и, соответствнно, 480 * 0,02 = 9,6 сделок.)<\/p>\n В целом, на таких скудных данных ошибиться невозможно, поэтому, безусловно, такой прогноз не будет ошибочным. Однако, он содержит важное когнитивное искажение: 2,0% это не точное значение, а наиболее пока вероятное<\/i> значение конверсии заявок в продажи наших лимузинов.<\/p>\n В действительности, конверсия не может быть определена точно. Она лежит в доверительном интервале от 0,4% до 3,6%.<\/b> И в будущем году нужно прогнозировать не 9,6 сделок, а от 5 до 15 проданных лимузинов. К сожалению, определить этот диапазон точнее будет довольно самонадеянным.<\/p>\n Колокол конверсии<\/h2>\nИсходя из предположения, что наша истинная<\/i> конверсия стабильна, и точно<\/i> равна 2,0%, мы можем прикинуть возможные варианты числа сделок на 480 лидов, ожидаемых в будущем году. Поскольку мы можем отвечать только за стабильность своей<\/i> работы, но не можем учесть фактор случайности (настроение клиентов, форс мажор, случайная продажа другу гендиректора), всегда существует вероятность, что число сделок будет немного отличаться от прогнозируемых 480 * 0,02 = 9,6 сделок подобно тому, как число решек на 480 бросков монеты может немного отличаться от 240, и быть 235, 248, или, возможно, даже 223.<\/p>\n Графически это выглядит как колокол нормального распределения,<\/i> где, чем дальше мы уходим от математического ожидания в 9 сделок в центре колокола, тем ниже становится вероятность сделать сильно меньше или сильно больше сделок:<\/p>\n \n\n<\/div>\nГлядя на полученный график, приходится признать, что увидеть меньше 2-х и больше 19-ти сделок практически невероятно.<\/p>\n Но, можно ли сузить наш доверительный интервал?<\/i><\/p>\n Доверительный интервал конверсии<\/h2>\nСтандартная ошибка (SD) для биномиального распределения считается по формуле:<\/p>\n \n\n<\/div>\nгде n<\/i><\/b> — это число испытаний, p<\/i><\/b> — вероятность успеха.<\/p>\n Для наших 200 заявок текущего года имеем:<\/p>\n \n\n<\/div>\nSD = 1,98 сделок.<\/b> Иными словами, согласно законам нормального распределения (а биномиальное распределение — это частный случай нормального распределения), примерно в 68% случаев, работая с истинной конверсией 2,0%, мы бы попали в доверительный интервал от 2,02 до 5,98 сделок, то есть +\/-1SD.<\/p>\n Для прогнозируемых 480 заявок будущего года получим:<\/p>\n \n\n<\/div>\nSD = 3,07 сделок.<\/b> По законам биномиального (нормального) распределения, известно, что в 68% случаев продажи будущего года будут лежать в пределах +\/- 1SD от математического ожидания в 9,6 сделок, а в 90% случаев — в пределах +\/- 1,645SD от матожидания. 3,07 сделок * 1,645 = 5,05 сделок, иными словами, в 90% случаев, работай мы весь следующий год с конверсией 2%, мы не выйдем за границы доверительного интервала «от 4,55 до 14,65 сделок». (Примечательно, что, обратно, в 1 случае из 10, мы, все-таки, выйдем за эти границы, по-прежнему, при этом, работая с «истинной» конверсией 2%.)<\/p>\n Любопытно, какой шум поднимет коммерческий директор, если по итогам года мы продадим всего 4 лимузина на 480 заявок, формально показав конверсию 0,83%... и еще более любопытно, что, статистически, это происходит в 1 из 27 отделов продаж. В одном из 27-ми случаев вас увольняют за невыполнение плана продаж, хотя вы по-прежнему работаете с «истинной» конверсией 2%.<\/b><\/p>\n Три конверсии на границе доверительного интервала<\/h2>\nКак же тогда относится к результатам текущего года, где мы получили 4 сделки на 200 заявок?<\/p>\n Первый случай, «2,00%».<\/b> Его мы рассмотрели сразу. 4 \/ 200 = 0,02, т. е. наша конверсия равна 2%. При этом, по законам биномиального распределения, все равно есть вероятность колебаться в 90%-м доверительном интервале «+\/-1,645SD», т. е., в интервале от 0,74 до 7,26 сделок на 200 заявок.<\/p>\n Выглядит это примерно так:<\/p>\n \n\n<\/div>\nНаш результат в 4 сделки совпал с математическим ожиданием от конверсии 2,0%, хотя, в общем, он мог и не совпасть, в целом находясь в 90% доверительном интервале от 1 до 7 сделок.<\/p>\n Второй случай, «1,22%».<\/b> В этом случае, в реальности, наша «истинная» конверсия, на самом деле, ниже, и равна, например, 1,22%.<\/b> Тогда матожидание числа проданных лимузинов примерно равно 2, и нам повезло<\/b> сделать 4 продажи. Степень нашего везения такова, что сделать более<\/i> 4 продаж мы могли бы только в 10% случаев. Т. е., мы остаемся в поле 90%-й вероятности, хотя и находимся на границе этого поля. Еще чуть-чуть, и нам повезет слишком сильно, а пока что нам везет «в пределах разумного»:<\/p>\n \n\n<\/div>\nТретий случай, «3,31%».<\/b> Теперь мы предположим, что в текущем году нам не везло,<\/b> хотя весь год наша истинная конверсия была выше 2,0% и равнялась 3,31%.<\/b> Матожидание для 200 заявок тогда равнялось бы примерно 6 проданным лимузинам, а сделать менее<\/i> 4-х продаж было бы возможно лишь в 10% случаев. Тогда мы тоже остаемся в поле 90%-й вероятности, но находимся на левой границе этого поля с нашими невезучими 4 сделками.<\/p>\n \n\n<\/div>\nТаким образом, приходится признать: мы не знаем наверняка, какая из 3-х конверсий — истинная.<\/b> Нам привычно думать, что речь идет о 1-м случае, и мы делим 4 сделки на 200 заявок, получая конверсию 2,00%. Но никто не знает наверняка, является ли текущий год обычным или необычным, везло ли нам в нем, или не везло. В 90% случаев речь могла идти как о везении,<\/b> и мы работали в действительности с конверсией 1,22%, так и о невезении,<\/b> когда мы работали с конверсией 3,31%. Во всех 3-х случаях вероятность сделать 4 сделки на 200 заявок не выходила за границы 90%.<\/b><\/p>\n К сожалению, у нас пока слишком мало данных, чтобы утверждать что-то можно было более точно.<\/p>\n Нужно больше данных<\/h2>\nЛогично задать вопрос — а сколько нужно накопить данных, чтобы более-менее надежно говорить о конверсии 2,0%? Попробуем постепенно увеличивать размер выборки (число заявок, и, следовательно, продаж), пока не увидим, как 90%-й доверительный интервал сомкнется вокруг значения конверсии в 2,00%:<\/p>\n \n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n Заявки<\/b><\/td>\n Сделки<\/b><\/td>\n Нижняя граница 90% доверительного интервала (-1,645SD)<\/b><\/td>\n Верхняя граница 90% доверительного интервала (+1,645SD)<\/b><\/td>\n Нижняя граница конверсии<\/b><\/td>\n Верхняя граница конверсии<\/b><\/td>\n<\/tr>\n 200<\/td>\n 4<\/td>\n 0,7<\/td>\n 7,3<\/td>\n 0,37%<\/td>\n 3,63%<\/td>\n<\/tr>\n 500<\/td>\n 10<\/td>\n 4,9<\/td>\n 15,1<\/td>\n 0,97%<\/td>\n 3,03%<\/td>\n<\/tr>\n 1 000<\/td>\n 20<\/td>\n 12,7<\/td>\n 27,3<\/td>\n 1,27%<\/td>\n 2,73%<\/td>\n<\/tr>\n 5 000<\/td>\n 100<\/td>\n 83,7<\/td>\n 116,3<\/td>\n 1,67%<\/td>\n 2,33%<\/td>\n<\/tr>\n 10 000<\/td>\n 200<\/td>\n 177,0<\/td>\n 223,0<\/td>\n 1,77%<\/td>\n 2,23%<\/td>\n<\/tr>\n 50 000<\/td>\n 1 000<\/td>\n 948,5<\/td>\n 1 051,5<\/td>\n 1,90%<\/td>\n 2,10%<\/td>\n<\/tr>\n 100 000<\/td>\n 2 000<\/td>\n 1 927,2<\/td>\n 2 072,8<\/td>\n 1,93%<\/td>\n 2,07%<\/td>\n<\/tr>\n 500 000<\/td>\n 10 000<\/td>\n 9 837,2<\/td>\n 10 162,8<\/td>\n 1,97%<\/td>\n 2,03%<\/td>\n<\/tr>\n 1 000 000<\/td>\n 20 000<\/td>\n 19 769,7<\/td>\n 20 230,3<\/td>\n 1,98%<\/td>\n 2,02%<\/td>\n<\/tr>\n 10 000 000<\/td>\n 200 000<\/td>\n 199 271,7<\/td>\n 200 728,3<\/td>\n 1,99%<\/td>\n 2,01%<\/td>\n<\/tr>\n 25 000 000<\/td>\n 500 000<\/td>\n 498 848,5<\/td>\n 501 151,5<\/td>\n 2,00%<\/td>\n 2,00%<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\nНадо ли говорить, что получить более нескольких десятков тысяч заявок-лидов может мало какой из отделов продаж. Поэтому, приходится признать, что ставить планы продаж и принимать кадровые решения относительно сотрудников, работающих с уровнями конверсии 1-5% — это безумие, и на таких маленьких числах математика в продажах не работает.<\/b><\/p>\n См. также:<\/h2>\nhttp:\/\/italylov.ru\/blog\/all\/ctatisticheskaya-dostovernost-koltrekinga\/<\/a><\/p>\n", "date_published": "2019-05-07T12:39:07+03:00", "date_modified": "2019-05-07T13:46:21+03:00", "image": "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/oshibka01.png", "_date_published_rfc2822": "Tue, 07 May 2019 12:39:07 +0300", "_rss_guid_is_permalink": "false", "_rss_guid": "19", "_e2_data": { "is_favourite": true, "links_required": [], "og_images": [ "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/oshibka01.png", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/CodeCogsEqn-1.png", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/oshibka02.png", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/oshibka03.png", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/oshibka04.png", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/oshibka05.png", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/oshibka06.png" ] } }, { "id": "11", "url": "https:\/\/mathandcoffee.ru\/all\/kadrovye-resheniya-ili-povysit-nelzya-uvolit\/", "title": "Кадровые решения, или Повысить нельзя уволить", "content_html": " Проблему, которую помогает решить использование матстатистики, я бы обозначил как «Повысить нельзя уволить» — вот перед нами результаты работы нашего отдела продаж, и назревают вопросы по нашему новому менеджеру Сухонцеву.<\/p>\n \n\n<\/div>\nУ сотрудника подходит к концу испытательный срок, план по сделкам ему был выставлен как «16 сделок на 100 звонков», поскольку исторически коммерческий директор видел конверсию звонков в сделки на уровне 16,1%.<\/p>\n Сухонцев, хорошо зарекомендовав себя за прошедшие 2,5 месяца работы, имеет 89 звонков и всего 9 сделок, что дает конверсию 10,1%.<\/p>\n «Увольнять,» — решает коммерческий директор.<\/p>\n Внимание, вопрос: справедливо ли решение коммерческого директора?<\/b> Достаточно ли прошло времени (накоплено данных), чтобы принимать такое кадровое решение? Учтен ли фактор «невезения», и не может ли быть так, что Сухонцев работает не хуже<\/b> остальных менеджеров, имея, в действительности, конверсию порядка требуемых 16%, но стабильно сталкиваясь с форс-мажорами у клиентов (5 клиентов «отвалились»), «черной полосой» в своей жизни и неудачно вставшей Луной в третьем доме Тельца?<\/p>\n Бросаем игральные кости<\/h2>\nВспоминая пример с бросками монетки, для разнообразия, в этот раз будем бросать игральную кость с 6-ю гранями. Вероятность выкинуть «1» составляет 1\/6, или примерно 16,7%.<\/p>\n Математическое ожидание для 89 бросков игральной кости составляет 89 * 1\/6 = 14,8 «единичек» (и по столько же «двоек», «троек» и т. д.), но, очевидно, их может быть не только 14-15, но и 12, 17, или, даже, 20. А вот совсем их не быть<\/i> практически не может (хотя, теоретически, вероятность этого не нулевая).<\/p>\n Работу Сухонцева можно представить как броски игральной кости, где требуемый результат — «единичка»-сделка — выпадает примерно на каждый шестой бросок. Примерно,<\/i> потому что исторически наблюдаемся конверсия в сделки составляет (без учета работы Сухонцева) 380 сделок на 2361 звонков, или 380\/2361 = 16,1%. Математическое ожидание от его 89 «бросков» (звонков) составляет 89 * 0,161 = 14,3 «единичек» (сделок), но, интуитивно понятно, что их может быть чуть больше или чуть меньше.<\/p>\n Если рассчитать (позже узнаем, как) точные вероятности «выпадения» определенного числа сделок на 89 звонков и вывести их на графике, то наиболее вероятное событие («математическое ожидание»)<\/i> в 14 сделок окажется в середине графика, остальные возможные варианты (13 и 15 сделок, 12 и 16 сделок, и т. п.) каждый раз становятся все менее и менее вероятны, из-за чего график приобретает форму колокола:<\/p>\n \n\n<\/div>\nСказать, что результат в 9 сделок совсем<\/i> невероятен не получается — какой-никакой, но этот столбик тоже заметен, и даже имеет вероятность в 0,037. Т. е., в 1 случае из 27 он случается, что, может, и маловероятно, но не крайне<\/i> маловероятно.<\/p>\n Осталось разобраться, как мы получили вероятность «в 1 случае из 27», и как это связать с кадровыми решениями в отделе продаж.<\/p>\n Считаем биномиальное распределение<\/h2>\nИ в Excel, и в Google Таблицах есть встроенная функция биномиального распределения.<\/b> Она-то и даст нам ответ на вопрос, пора ли увольнять невезучего Сухонцева.<\/p>\n В ячейке напротив его конверсии в 10,1% посчитаем функцию:<\/p>\n =БИНОМРАСП(D7;C7;$E$11;1)<\/code><\/pre>\n\n<\/div>\nВ данной функции указываем по порядку: значение числа успехов (сделок), значение числа попыток (звонков), значение вероятности успеха (конверсия 16,1%). Последний, 4-й параметр, указываем «1».<\/p>\n \n\n<\/div>\nЧто за 0,0763 мы получили? 0,0763 — это вероятность получить не более 9 сделок на 89 звонков при вероятности сделки 16,1%.<\/b> Таким образом, это вероятность получить от 0 до 9 сделок включительно<\/i> при данных параметрах. Обратно, 1-0,0763 = 0,9237 — это вероятность получить 10 и более<\/i> сделок.<\/p>\n (Кстати, если 4-й параметр в функции поменять на «0», мы получим вероятность получить ровно<\/b> 9 сделок).<\/p>\n \n\n<\/div>\nМожно сказать, что, принимая сумму всех столбиков на графике за 1, сумма столбиков «0»-«9» равна 0,0763, или 7,63%. Как видим, гораздо более вероятно попасть в синюю часть колокола нормального распределения, чем в красную (92,37% против 7,63%).<\/p>\n Вывод: вероятность Сухонцеву, работая в действительности с конверсией 16,1%, случайно (возможна «черная полоса», помните?) получить не более 9 сделок из 89 звонков, равна 7,63%.<\/b> Обратно, 92,37% вероятность того, что Сухонцев получил бы 10 и более сделок. Грубо говоря, 7,63% за то, что ему не повезло, а 92,37% за то, что одним невезением тут не обошлось, и, скорее всего, он работает с конверсией ниже 16,1%.<\/p>\n Таким образом, если для коммерческого директора уровня 90% уверенности достаточно, то Сухонцева можно увольнять с испытательного срока — менеджер, действительно, не выполняет план. Если же нужен уровень 95% уверенности, то данных пока недостаточно, и желательно понаблюдать чуть дальше.<\/p>\n Какой же уровень уверенности выбрать? Правильного ответа здесь не существует.<\/p>\n Если его выбрать слишком низким, то мы можем случайно уволить хороших менеджеров, зато не придется терять сделки, продолжая работать с плохими.<\/p>\n Если выбрать его слишком высоким, то слишком долго придется копить данные для принятия математически обоснованного решения об увольнении плохого менеджера, зато и меньше вероятность случайно уволить хорошего. По моему мнению, уровень 90% для описанного кейса оптимален. Сухонцева можно увольнять.<\/p>\n Постойте, а что с 19,7% Беляева?<\/h2>\nДействительно, если существуют «плохие» менеджеры, для которых с вероятностью 92,37% конверсия ниже требуемых 16,1%, то, логично, могут существовать и «хорошие».<\/p>\n \n\n<\/div>\nНаше внимание обратили на себя 19,7% конверсии Беляева. За полгода работы он сделал 56 сделок на 284 звонка, при прогнозируемых 0,161*284 = 46 сделках. Могло ли ему везти эти полгода? Могло ли быть так, что, работая в действительности как все, с конверсией 16,1%, он случайно получил больше сделок, чем прогнозировал коммерческий директор?<\/p>\n Функция биномиального распределения дает результат в 0,9563 — то есть, с вероятностью 95,63%, работая как все, он бы получил не более 56 сделок... но он и не сделал более<\/i> 56 сделок! Он сделал ровно<\/i> 56!<\/p>\n Доработаем функцию, пересчитав ее для 56-1 = 55 сделок:<\/p>\n \n\n<\/div>\nДля 55 сделок результат получился 0,9402. То есть, с вероятностью 94,02% Беляев (работая с конверсией 16,1%) получил бы не более<\/i> 55 сделок. Получается, вероятность получить более<\/i> 55 сделок равна оставшимся 5,98%! Получается, наш Беляев попал в кусочек своего колокола распределения, только с другого конца, и вероятность попасть туда составляет всего около 6%.<\/p>\n \n\n<\/div>\nКоммерческий директор уже решил, что, прежде чем принимать кадровые решения, он хочет быть уверен в результатах на 90%. Но в результатах Беляева он уверен на 94,02%! Значит, остается всего 5,98% на то, что Беляеву повезло.<\/p>\n Значит, либо ему так повезло, хотя он, в действительности, работает как все (с конверсией 16,1%) и недостоин большей зарплаты, либо, он работает с конверсией выше 16,1% и будет справедливо вознаградить его.<\/p>\n 6% явно проигрывают 94%, поэтому, Беляев получает повышение.<\/p>\n", "date_published": "2019-03-29T18:03:34+03:00", "date_modified": "2019-04-15T13:07:08+03:00", "image": "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/voronka01.PNG", "_date_published_rfc2822": "Fri, 29 Mar 2019 18:03:34 +0300", "_rss_guid_is_permalink": "false", "_rss_guid": "11", "_e2_data": { "is_favourite": true, "links_required": [ "system\/library\/highlight\/highlight.js", "system\/library\/highlight\/highlight.css", "system\/library\/highlight\/highlight.js", "system\/library\/highlight\/highlight.css" ], "og_images": [ "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/voronka01.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/voronka02.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/voronka03.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/voronka04.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/voronka05.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/voronka06.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/voronka07.PNG", "https:\/\/mathandcoffee.ru\/pictures\/voronka08.PNG" ] } } ], "_e2_version": 3565, "_e2_ua_string": "E2 (v3565; Aegea)" }